Nr 1 / 1

Ergodicitet hos vissa Markovkedjor och itererade funktionssystem (Ergodicity)

Ergodicity of certain Markov chains and iterated function systems

Projektets ändamål är studier av autoregressiva processer av formen (1) X_=f(X_, /varepsilon_, n=0,1,2,... där f är en funktion från E x F till E och följden /varepsilon_ är stationär och oberoende av alla föregående av X; E är ett givet topologiskt rum, ofta en lokalkompakt delmängd av /Re^, och parameterrummet F är ett annat topologiskt rum. -Modellen (1) inkluderar i och för sig de klassiska statistiska ARMA-modellerna (där E = /Re^, f är linjär och /varepsilon'a är reellvärda normalfördelade stokastiska variabler).Tanken i vårt forskningsprojekt är dock att analysera genuint icke-linjära problem. problemkomplex som vi försöker belysa är bland andra (i) kvantiseringsfel inom signalanalysen, jfr Arnstein (1975) och Tong (1990).Autoregressionsfunktionen är här ofta styckevis affin såsom i SETAR-modellen; (ii) stokastiska varianter av enkla biologiska populationsmodeller, se Högnäs och Vellekoop (1995).De deterministiska modellerna (ss. den logistiska modellen, Rickers modell, Haskells modeller) kan själva vara kaotiska och alltså "till synes stokaistiska", May (1976).Analysen strävar också till att klargöra relationerna mellan det stokaistiska och det kaotiskt deterministiska elementet i modellen, jfr Bartlett (1990) och efterföljande diskussion.; (iii) itererade funktionssystem och s.k.Markovska slumpvandringar, se Barnsley (1988), Berger (1989) och Peigné (1992).Dessa har användts speciellt inom datorgrafiken för generering och studium av fraktaler. -Allmänt kan vi formulera projektets slutmål på följande sätt: Sök villkor på f och /varepsilon så att x_ i (1) är ergodisk.En ekvivalent men mera pragmatisk formulering är: För vilka f och /varepsilon kan vi vara säkra på att simulering av (1) ger en uttömmande beskrivning av processen.

Consider the following general discrete-time Markov chain model on some topological space E (in most applications a subset of /Re^^): (1) X_=f(X_,/varepsilon_), n=0,1,2,...where f is a function from E x F to E and the sequence /varepsilon_, n=1,2,... taking values in some topological parameter space F is stationary and indipendent of the past X's.The aim of the research project is to develop verifiable suffucient conditions - preferably directly in terms of the one-step transition probalities - for positive recurrence and ergodicity of the process X.The key idea is to use drift conditions, or stochastic Lyapunov functions, to establish ergodicity for the stochastic variants of some widely used deterministic models.Applications are drawn, e.g., from discretization error analysis in engineering and simple stochastic population models in theoretically biology as well as computer graphics (fractal generation and iterated function systems).There is a definitive need to work out a rigorous mathematical basis in term of ergodic theorems for the simulation procedures which are extensively used to study, experimentally, the asymptotics of non-linear processes of the general form (1).

Publikation(er)

26.3.1996 / 27.3.1996